Аллилуйю петь (затянуть)

«Аллилуйя» - слово древнееврейское, означает «хвалите бога». 

При богослужении в церкви многие молитвы, заканчиваются многократным припевом: «Аллилуйя, аллилуйя!» 

Поэтому слова «петь аллилуйю» у нас стали означать то же, что «акафисты петь» - захваливать, не в меру превозносить. 

От них произошли и выражения «аллилуйщина», «аллилуйщик».

Сравни: «дифирамбы петь», «панегирики произносить».